Обычная школьная алгебра работает с натуральными, целыми, рациональными и действительными числами. Таких чисел бесконечно много. А что, если взять всего лишь пару объектов и выдумать для них разные операции вроде того же сложения или умножения? Тогда мы получим новую разновидность алгебры, а при желании - много новых разновидностей, поскольку операции можно определять разными способами. Одна такая алгебра получила название "булевой" по имени ее изобретателя Дж. Буля. Операции в булевой алгебре продуманы таким образом, чтобы ее можно было использовать в логических рассуждениях.
Мы привыкли к тому, что числа применяются для обозначения количества - большего или меньшего. Но если чисел всего два, то может быть только два варианта количества,.. тогда это странно было бы называть "количеством". Поэтому те два объекта, с которыми оперирует булева алгебра, числами называть некорректно. Просто два каких-то объекта. Какие именно - зависит от области применения булевой алгебры или, как говорят математики, от интерпретации.
Булева алгебра может применяться в компьютерной технике. Здесь интерпретация заключается в том,
что значок
Второй вариант применения булевой алгебры - логические рассуждения. Здесь два объекта
интерпретируются как истина (будем обозначать как
Есть одна тонкость, которую люди, впервые столкнувшиеся с математической логикой,
понимают с трудом. Поэтому придется сделать пространное отступление.
Что называть истиной, а что - ложью,- это вопрос, как говорится, "тонкий". Есть разные
критерии истины, о которых можно долго говорить. Математическая логика подобных разговоров
избегает, как говорят "абстрагируется" от них. Предполагается, что кто-то каким-то образом выяснил,
что некое утверждение истинно (
Вот вам более привычный пример - из арифметики. В ней есть абстрактные числа, для которых
заданы правила сложения, вычитания и так далее. Мы можем сложить
Так же и с булевой алгеброй. Можно для выяснения "истины" и "лжи" долго бить в бубен
или лбом об пол. Будет достигнут некий результат... который можно подставить в формулы
булевой алгебры. Потом что-то получится в процессе вычислений... и это может оказаться
"истиной" или "ложью" с точки зрения специалиста по битию в бубен. Если булева алгебра
будет постоянно выдавать правильные ответы (как с картошкой), тогда для этой цели она
будет признана пригодной. Вопрос о том, для чего пригодна булева алгебра, а для чего -
не пригодна остается за рамками самой булевой алгебры.
Итак, будем рассматривать интерпретацию булевой алгебры "истина"/"ложь".
Пусть нам был дан некий фрагмент текста
В булевой алгебре рассматриваются только те высказывания, для которых
истинность может принимать два значения: либо истина (
Поскольку в булевой алгебре есть только два значения истинности, то такую логическую
систему называют двузначной. Есть и другие двузначные логические системы. Есть
в математике и многозначные системы, которые допускают промежуточные градации между
"истиной" и "ложью", так сказать "полутона", которые по смыслу соответствуют таким
выражениям, как "сомнительно", "скорее всего истина", "вряд ли" и т.п. Тут важно
отметить, что причины, по которым рассматриваются только две градации истинности,
также остаются за рамками булевой алгебры.
[высказывание]: Высказывание - это фрагмент текста,
для которого можно выяснить его истинность (хотя бы приблизительно).
[булево высказывание]: Булево высказывание - это
такое высказывание, для которого рассматриваются только два значения истинности: Вопросы и задания для самостоятельной работы