Булевыми величинами (или булевыми константами) называются два заранее выбранных разных символа.
По традиции применяются символы
Булевыми переменными называются переменные, которые могут принимать булевы значения.
Для того, чтобы некоторую величину можно было обозначать булевой переменной, должны выполняться следующие ограничения:
Эти 5 правил определяют ситуации, в которых алгебра логики может быть применена. Рассмотрим пример. Пусть речь идет о цехе автомобильного завода, где сушатся только что покрашенные автомобили и мы хотим применить алгебру логики, рассуждая об автомобилях в этом цеху.
Мы можем применить алгебру логики к цвету автомобилей, если все они либо "зеленые", либо "красные".
По правилу 1, если в цехе есть помимо красных и зеленых еще и желтые автомобили, то мы не можем применить алгебру логики, деля их на "красные" и "зеленые". Потому, что кроме двух значений "красный" и "зеленый" появляется третье: "желтый". Можно выйти из затруднения, рассмотрев автомобили "зеленые" и "незеленые" (то есть всех остальных цветов).
По правилу 2, если в цехе есть красные автомобили в зеленую полоску или зеленые в красный горошек, то мы не можем применить алгебру логики, деля их на "красные" и "зеленые". Потому, что о некоторых автомобилях можно будет сказать, что он и "красный", и "зеленый" одновременно. Можно выйти из затруднения, если договориться считать "красными" автомобили, которые сначала покрывают красной краской.
По правилу 3, если в цехе есть помимо красных или зеленых вовсе некрашеные автомобили, то мы не можем применить алгебру логики деля их на "красные" и "зеленые". Потому, что о некрашеных автомобилях еще нельзя сказать, что они красные или зеленые. Можно выйти из этого затруднения, если считать красными те автомобили, которые запланировано покрасить в красный цвет, а зелеными те, которые запланировано покрасить в зеленый.
По правилу 4, если в цехе не все автомобили одновременно зеленые или красные, это не помешает применению алгебры логики к цвету автомобилей. С другой стороны, если в цехе всегда только красные автомобили или только зеленые, то нет смысла заводить столько переменных, сколько автомобилей. Достаточно одной переменной для всех автомобилей сразу.
По правилу 5, если в цехе есть только зеленые и красные автомобили, и все они - либо сломаны, либо исправны, то мы все равно не можем смешивать в одних и тех же формулах переменные, обозначающие цвет автомобилей, и их исправность. Из этого затруднения можно выйти, если рассматривать не цвет и исправность самих автомобилей, а истинность или ложность правильно составленных фраз насчет цвета и исправности. Таким образом, каждому автомобилю будет соответствовать две булевы переменные: "автомобиль зеленый" и "автомобиль исправный". Каждая переменная может принимать два значения "истина" или "ложь".
Правила 1, 2, 3 и 5 должны обязательно выполняться все. Если не выполняется хотя бы одно из них, алгебра логики не применима. Правило 4 поясняет одну ситуацию, когда могут возникнуть сомнения насчет применения алгебры логики.
Примеры демонстрируют следующие практические факты. Во-первых, алгебра логики может быть применена не всегда, а лишь с соблюдением определенных ограничений. Во-вторых, если алгебра логики не может быть применена одним способом, то часто можно обнаружить другой способ - совсем рядом. Достаточно немного изменить условия.
В этом нет ничего необычного или сомнительного - так работает вся математика. Нужно просто проявлять с одной стороны внимательность, а с другой - изобретательность. Например, в арифметике нельзя суммировать гайки и яблоки по количеству, но зато их можно суммировать по весу. Эта ситуация очень похожа на ту, когда нельзя применить булеву алгебру к цвету и исправности, но можно применить ко фразам о цвете и исправности.
Булева алгебра весьма распространена. Принцип работы большинства компьютеров основан на ней. Большинство формул математики могут быть только истинными или ложными, так что булева алгебра применима и почти ко всей математике. Оказывается, что и в обыденной речи алгебра логики вполне применима, хотя не везде и не всегда. Таким образом, булева алгебра полезна, но не претендует на сверхуниверсальность. Это - инструмент, который может оказаться удобен для решения определенных задач, для других - неудобен, а для третих - вообще неприменим.