Сначала поговорим об аксиомах. Вы, возможно, слышали, что аксиомы не доказываются, а принимаются на веру. Это - предрассудок и ложь. На самом деле аксиомы не доказывается в рамках выбранной дедуктивной системы. Но это не значит, что аксиомы не доказываются вообще. Иногда аксиомы делятся на постулаты (которые доказываются) и догматы (которые принимаются на веру).
Возьмем, к примеру, три закона Ньютона. В рамках ньютоновой механики эти три закона являются аксиомами. Но это ведь не означает, что они должны быть приняты как откровения некой религии и могут быть получены исключительно путем удара яблоком по голове. На самом деле эти три закона можно проверить, но другими путями. Например, ставя эксперименты. Скажем, первый закон об инерциальной системе отсчета утверждает, что существуют такие системы отсчета, в которых тела движутся прямолинейно и равномерно, если на них не действуют никакие силы, или силы компенсируют друг друга. Этот закон доказывается примером движущиегося поезда. До тех пор, пока сила двигателя компенсирует силу трения, а сила реакции опоры от рельс компенсирует силу тяжести, поезд движется прямолинейно и равномерно. Пусть даже это происходит на некотором небольшом участке пути, ведь реальный поезд следует изгибам местности и кривизне земного шара.
Смысл выбора аксиом состоит вовсе не в том, чтобы придумать несколько утверждений и возвести их в ранг незыблемых истин. На самом деле цель состоит в другом. Необходимо выяснить, какие элементы теории являются основными, а какие - только их следствиями. Эти основные элементы - аксиомы и правила вывода. Если они верны, то верна и вся остальная теория. Это крайне важно. Теория может быть большой и исключительно сложной. В ней может быть множество теорем и доказательств. Но для того, чтобы понять, будет ли вся теория, со всеми этими теоремами работать в данной конкретной ситуации, достаточно понять, будут ли работать аксиомы и правила вывода.
Скажем, уже упомянутая ньютонова механика. Мы знаем, что масса покоя
Можно сказать, что всякая уважающая себя аксиома должна хотя бы иногда быть ложной. Возьмите геометрию Евклида. В ней есть набор аксиом, включая ту, в которой говорится: "через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной". Эта аксиома истинна на плоскости, но ложна на поверхности сферы. Из аксиом Евклида, в частности, следует теорема о том, что "сумма углов треугольника равна 180 градусам". Но возьмите глобус. Проведите на нем такой треугольник: от северного полюса к экватору вдоль нулевого меридиана, далее вдоль экватора до 90 градусов восточной долготы и далее от экватора на север до полюса. Сумма углов этого треугольника будет равна не 180, а 270 градусам! Вообще-то правильная, строгая формулировка той школьной теоремы должна звучать так: "Если аксиомы Евклидовой геометрии истинны, то сумма углов треугольника равна 180 градусам". На поверхности глобуса одна из аксиом не работает. В результате не работает по крайней мере одна из теорем.
Как видите, аксиомы вовсе не играют роль незыблемых истин, в правильности которых мы не имеем права сомневаться. Их задача состоит в том, чтобы определять, в каких ситуациях теория применима, а в каких нет, и избавить нас от необходимости обсуждать каждый раз все теоремы, ограничиваясь лишь проверкой аксиом. Итак, аксиомы - это пробный камень теории.
Такое предназначение аксиом объясняет две традиции, которыми руководствуются при их выборе. На поверку оказывается, что эти традиции тоже не являются предметом веры, но всего лишь служат практической целесообразности.
Первая традиция состоит в том, чтобы снизить количество аксиом до минимума, сделать их максимально простыми и четко сформулированными. В самом деле, чем меньше аксиом, чем они проще и яснее звучат, тем легче и быстрее можно проверить, применима данная теория или нет. Поэтому всякая аксиома, которая может быть выведена из других аксиом, исключается из набора аксиом и переходит в ранг теорем. В самом деле, зачем тратить время на проверку еще одной аксиомы, если проверка остальных аксиом и правил вывода автоматически подтверждает и эту аксиому?
Вторая традиция состоит в том, чтобы принимать в качестве аксиом наиболее проверенные факты, которые в реальной жизни наблюдаются очень часто, постоянно и в самых разных случаях. Это - тоже естественно и практично. Ведь если мы хотим, чтобы теория была как можно более общей и универсальной, работала во многих ситуациях, мы должны добиваться того, чтобы аксиомы и правила вывода этой теории были как можно более общими и универсальными.