Средневековые modus-ы

[предыдущая глава]  [оглавление]  [следующая глава]

После Аристотеля вплоть до XIX века формальная логика развивалась крайне медленно и слабо. Из того, что относится к условным высказываниям, следует, пожалуй упомянуть о двух правилах ("modus"-ах), первое упоминание о которых относят к средневековым логикам.

Правило modus ponens гласит:

Если A, и если A, то B, то B.

Довольно некрасиво и непонятно выглядит эта запись, но это только демонстрирует тот факт, что повседневный язык плохо приспособлен к выражению даже таких простых логических конструкций. В данном случае все действительно просто: здесь два условных высказывания, вложенных друг в друга. Достаточно добавить хотя бы скобки, (как это делается в математике для указания порядка операций), и текст станет намного понятнее:

Если A, и (если A, то B), то B.

А если мы применим значок "", то все станет совсем просто:

A & (A B) B    (2)

То есть, мы откуда-то взяли, что истинно условное высказывание "Если A, то B". И потом мы откуда-то узнали, что A истинно. После этого мы можем сделать вывод, что истинно также и B.

Между прочим, логически правильной является также вариация формулы (2) с материальной импликацией:

A & (A B) B    (3)

Этот факт только усугубляет путаницу между условными высказываниями и материальной импликацией.

Правило modus tollens гласит:

Если B ложно, и если A, то B, то A ложно.

Поясним запись скобками:

Если B ложно, (и если A, то B), то A ложно.

И применим значок "":

~B & (A B) ~A

То есть, мы откуда-то взяли, что истинно условное высказывание "Если A, то B". И потом мы откуда-то узнали, что B ложно. После этого мы можем сделать вывод, что ложно также и A.

Заметим, что утверждение "B ложно" можно выразить через отрицание, сказав, что "~B истинно". Отсюда появились эти значки отрицания.

Правило modus tollens обычно используется для опровержения "от противного". Если необходимо опровергнуть A, то мы допускаем, что оно истинно, ведем какие-то рассуждения и приходим к B, о котором точно известно, что оно ложно. Тогда по modus tollens можно заключить, что ложно также и A.

Небольшая замена переменных (A на ~A) превращает опровержение по методу "от противного" в доказательство по методу "от противного":

~B & (~A B) ~~A

То есть, чтобы доказать A мы допускаем, что верно обратное утверждение ~A. Рассуждая дальше, приходим к заведомо ложному утверждению B. Отсюда по modus tollens делаем вывод, что ~A ложно. Но если ~A, ложно, тогда A истинно, что и требовалось доказать.

Средневековые modus-ы вошли в современную математику как полноправная часть. Modus ponens обычно используется в форме (3) в наиболее абстрактных разделах математической логики. Modus tollens чаще всего применяется в форме доказательства от противного, которое, как правило, формулируется на обычном языке.

Хотя modus-ы тоже не дают нам формализации условных высказываний в самом общем случае, но они показывают нам, что существует особый класс условных высказываний - вложенные условные высказывания - и он имеет очень большое значение.