Когда речь заходит о парадоксах материальной импликации, математики часто хмурятся и говорят, что в математических формулах ошибок нет. И это действительно так. Часто к этому они добавляют, что несоответствие между формулами и условными высказываниями в обычном языке - не их проблема. Дескать, математические формулы не обязаны в полной мере отражать реалии естественного языка. Это утверждение может показаться спорным, и вызвать недоумение: зачем нужна такая логика, которая имеет слишком отдаленное отношение к реальной жизни?

И действительно, некоторые логики все еще пытаются найти такую формализацию условных высказываний, которая была бы свободна хотя бы от самых простых парадоксов. Эти поиски привели к появлению большого количества логических систем, называемых "релевантными логиками". Слово "relevant" можно перевести как "относящееся к делу".

Одним из парадоксов материальной импликации является то, что посылка и следствие могут утверждать совершенно несвязанные между собой вещи. То, что говорится в условии не относится к делу ("relevant"), которое излагается в следствии. Каким образом решить эту проблему? Приверженцы релевантной логики добавляют еще одно условие по сравнению с модальной логикой. А именно: истинность посылки и следствия должна выражаться формулой с переменными, и в посылке, и в следствии должна быть хотя бы одна общая переменная. Это требование называется "принцип общих переменных" (или "принцип разделяемых переменных" или "принцип одноименных переменных" - выбирайте перевод, который вам больше нравится для фразы "variable sharing principle").

Это условие кажется в самом деле "сильным", но недостаточно, что признают и создатели релевантной логики. Они считают, что это условие необходимо для истинности условного высказывания, но достаточным условием могут быть только некоторые дополнительные "философские" (еще чего не хватало!) рассуждения.

Недостаточность прояявляется в том, что при соблюдении принципа общих переменных возможны парадоксы. Например:

Если a ~a, то a ~a.

Ну и где тут логическая связь? И посылка, и следствие - формулы, которые истинны всегда, при любых a, И в них есть общая переменная a. Но логическая связь между этими формулами как-то незаметна.

Таким образом, принцип общих переменных не является достаточным. Более того, лично мне кажется, что он и не является необходимым, несмотря на заявления "релевантных логиков".

Вот пример. Мы знаем, что перестановка мест слагаемых суммы не меняет. То же относится и к операции "". Тогда из одной формулы мы можем получить другую, эквивалентную ей, перестановкой слагаемых. Например:

Если ~(true & false & ~false) (~~false & false),
то (~~false & false) ~(true & false & ~false).

Допустим, нам лень вычислять эти длинные формулы. Но мы видим, что первая формула от второй отличается только перестановкой слагаемых операции "". Так что мы можем заключить: если истинна первая формула, то истинна и вторая, т.е. если истинна посылка, то истинно и следствие. Таким образом, это условное высказывание истинно.

А теперь найдите в нем хоть одну переменную.

Еще пример. Пусть от преподавателя логики мы узнали, что формула x ~x истинна для любого x. Отсюда следует, что если подставить в эту формулу на место x какое-нибудь конкретное значение, скажем, false, то получится истинная формула. Поэтому:

Если (x ~x), то (false ~false).

Как насчет одинаковых переменных в обеих частях формулы?