Возможно у вас возникнет вопрос: а не слишком ли много множителей-условий в формуле общего следования? Мне кажется, что это сочетание условий достаточно точно формализует те условные высказывания, которые содержат лексемы-переменные.

A & ~B & ~ (A & ~B)

Последнее условие ~ (A & ~B) достаточно очевидно. Аналогичный принцип есть и в логике множественных миров, и в материальной импликации. А откуда берутся остальные условия?

Давайте подумаем: каков смысл условных высказываний (с лексемами-переменными) в обычной речи? Основная идея любой логики состоит в том, чтобы в рассуждениях узнавать истинность высказываний, зная истинность других. А для условных высказываний речь идет, в основном, об использовании modus ponens и modus tollens.

Правило modus ponens гласит: если истинно условное высказывание, и истинно условие в нем, то мы получаем новое истинное высказывание: следствие. То есть, когда мы знаем, что A(x') истинно и знаем, что A(x) B(x) истинно, то мы можем получить для своих нужд B(x'), которое с гарантией истинно.

Правило modus tollens гласит: если истинно условное высказывание, и ложно следствие, то мы получаем новое ложное высказывание: условие. То есть, когда мы знаем, что B(x') ложно и знаем, что A(x) B(x) истинно, то мы можем получить для своих нужд A(x'), которое с гарантией ложно. Рассуждения по методу modus tollens в естественной речи могут звучать примерно так: "Не может быть, чтобы A(x') ведь тогда бы B(x') (а мы знаем, что это неправда)".

Раз уж эти применения так важны, то для них должны быть созданы минимальные условия. Во-первых, хотя бы иногда должно быть истинным A. Иначе мы просто не сможем никогда применить modus ponens. Откуда, собственно, и появляется первый множитель A.

Во-вторых, хотя бы иногда должно быть ложным B. Иначе мы просто не сможем никогда применить modus tollens. Отсюда появляется второй множитель ~B.

Далее, при истинном условии A надо иметь гарантии истинности следствия B (для modus ponens). Чтобы получить эти гарантии, необходимо запретить комбинацию A = true, B = false, что и делает множитель ~ (A & ~B). При ложном следствии B надо иметь гарантии ложности условия A (для modus tollens). Для чего надо запретить ту же самую комбинацию, что уже сделано.

Предвижу возможное возражение: зачем добавлять два дополнительных условия, когда третье условие (без двух других) очень похоже на материальную импликацию и на логику возможных миров, а значит, можно строить теоремы и доказательства, пользуясь аналогиями, и вообще сохранять преемственность?

Другое возможное возражение: два первых условия гарантируют хотя бы один случай применения modus pollens и modus tollens. Если их убрать, то гарантий не будет, ну и пусть, ведь ничего плохого не случится. Если там не встретится ни одного случая, когда A истинно, то не удастся применить modis tollens только и всего. В конце концов, никакого противоречия получено не будет, а для условного высказывания можно найти много других применений и помимо modus ponens. Аналогично и с modus tollens.

На эти возражения я могу ответить следующее. Во-первых, преемственность не есть самоцель. В данном случае цель заключалась в том, чтобы максимально точно формализовать условные высказывания, обычные для рассуждений на естетственном языке, а также и для математики - когда она "говорит" на языке слов. Тем не менее, преемственность удастся в значительной мере сохранить, если для операции следования доказать ряд свойств, аналогичных тем, что применяются в распространенных логических системах. Это сделано в первой части.

Во-вторых, дело не только в modus-ах, но и в том, как в естетственном языке психологически воспринимаются высказывания, для которых не соблюдены первое и второе условия. А воспринимаются они как ложные, или, как минимум, сомнительные, недоказанные, смешные, несуразные. Конечно, эти характеристики нельзя считать строго определенными, они субъективны. Для доказательства подобных утверждений полагается ставить специальный психологический эксперимент, который, разумеется, не может быть сравним с математикой по строгости выводов. Рассмотрим примеры.

Пусть не выполняется условие A. То есть, какие бы значений мы ни подставляли на место свободных переменных в A, оно окажется ложным. Обычная реакция на подобные условные высказывания "Если A, то B" может звучать так: "Что значит "если A?", ведь так не бывает!". Например: "Если кто-нибудь из наших спортсменов сможет перевернуть Землю, то он будет явно сильнее вашего чемпиона". Возможный ироничный ответ: "вот когда перевернет, тогда и поговорим".

Еще хуже с невыполнением условия ~B. Здесь мы имеем фразу, в которой следствие всегда истинно, независимо от условия. Например: "Если ваш чемпион победит на еще каких-нибудь соревнованиях, то он чемпион". Возможный ответ: "Никаких "если". Он уже чемпион!". Вообще на подобные "недо-условные" высказывания характерные ответы бывают: "что значит если!?" и "никаких если!"

В-третьих, еще один, как мне кажется, наиболее сильный аргумент. Посмотрите, откуда берутся парадоксы материальной импликации типа "если в огороде бузина, то в Киеве дядька"? А берутся они из того, что условие и следствие оказываются не связаны по смыслу. Вообще в логических исчислениях часто следуют принципу: смысл операндов игнорируется, рассматривается только их истинность (или доказанность). Но в том то и дело, что для формализации условных конструкций этого недостаточно. Я предлагаю формализовать также и смысл операндов, но в минимальном необходимом объеме: представить операнды в форме функций (предикатов) и анализировать поведение функций, как это происходит при вычислении пределов или производных.

Анализ предикатов как раз и позволяет выявить зависимость. Эта зависимость проявляется в том, что истинность одного предиката изменяется в зависимости от истинности другого предиката. Это происходит благодаря наличию в них одноименных параметров, которые получают одно и то же значение при одновременной подстановке. Но если один из предикатов - константа, то ни о каком изменении или зависимости говорить уже нельзя, разве что о каком-то вырожденном случае. Да, в математике можно написать функцию f(x) = 5, которая хотя и постоянна, но считается функцией. Однако именно в таких случаях и говорят, что ее значение не зависит от x.

Четвертый аргумент. В некоторых системах, имеющих дело с вероятностями, встречается свой вариант формализации условных высказываний. Мы его не касались, поскольку здесь речь идет только о двузначной логике. Но, вообще говоря, в литературе можно найти такую красивую формализацию условных высказываний: "если x, то y" истинно, тогда, и только тогда, когда условная вероятность события y\x превышает безусловную вероятность события y. То есть, P(y\x) > P(y). Посмотрим на истинность предикатов по обе стороны от операции "" как на случайные величины, принимающие значения 1, когда предикат истинный, и 0, когда ложный. Событие x будет заключаться в том, что первый предикат истинный, а событие y в том, что истинным окажется второй предикат. Так вот: в том случае, когда истинность условия либо следствия являются константами, никакого "превышения" условной вероятности над безусловной не получится, будет равенство. Таким образом, предлагаемый вариант для двузначной логики неплохо сочетается с другой формализацией в системах, которые близки к логике многозначной.

Пятый аргумент. Доказательство двух первых частей формулы, как правило, бывает очень простым. Если это доказательство и не приводят явно в рассуждениях с условными высказываниями, то, возможно, потому, что это бывает слишком очевидно.

Шестой аргумент. По сравнению с высказыванием:

Если бы Солнце погасло, то Земля бы замерзла

- высказывание без "бы" звучит не так хорошо:

Если Солнце погасло, то Земля замерзла.

Но мы же знаем, что не погасло, и не замерзла, какие же тут могут быть "если"? Однако для космонавта, улетевшего далеко от Земли, это вполне нормальное замечание. Даже если он видит Солнце с расстояния, скажем, в 40 световых лет, это означает лишь то, что 40 лет назад Солнце все еще горело. А сейчас оно могло бы уже погаснуть в результате какого-нибудь катаклизма. Так что для космонавта вполне разумно говорить: "Если Солнце погасло..."

Также с точки зрения землянина не очень хорошо звучит:

Если Солнце горит, то Земля не замерзла.

А вот с точки зрения космонавта, улетевшего далеко, опять-таки, получается вполне логично. Получается, что восприятие оборота "если... то..." без частицы "бы" зависит от того, какова истинность условия. Если она строго ложна или истинна, то фраза звучит не очень хорошо, а вот если истинность условия не определена,- тогда в самый раз.

Таким образом, если истинность условия (или следствия) известна, то более "разумно" звучат формулировки с частицей "бы". Эта частица может быть убрана, если истинность условия и следствия не определены. Неопределенность истинности условия и следствия в случае общего следования обеспечивается автоматически тем, что формулы и в условии, и в следствии должны быть иногда истинными, а иногда ложными по формуле для общей истинности.