Этот парадокс также называется "парадокс узника", "парадокс неожиданной казни". Есть еще "дилемма бандита" или "дилема заключенного" - совсем другой парадокс, где фигурируют два заключенных, которым надо как-то кооперироваться или нет.

Автор парадокса мне неизвестен. Постараюсь пересказать его покороче:

В воскресенье судья вынес преступнику такой приговор:
— Тебя казнят в один из семи дней следующей недели (с понедельника по воскресенье), но когда именно это случится, ты узнаешь только утром в день казни.
На что преступник ответил:
— Если бы мне объявили о казни утром в воскресенье, тогда я бы знал о казни уже в субботу днем - после того, как не дождался бы уведомления в субботу утром. Таким образом, казнь не может быть исполнена в воскресенье, и суббота - последний возможный день. Но, если бы мне объявили о казни утром в субботу, тогда я бы знал о казни уже в пятницу днем - после того, как не дождался бы уведомления в пятницу утром. Таким образом, казнь не может быть исполнена и в субботу, и последним возможным днем оказывается пятница. Рассуждая далее, я исключаю четверг, среду, вторник. Но тогда получается, что казнь состоится завтра, в понедельник, но я о ней узнал уже сейчас, в воскресенье. Выходит, вы меня не казните.

Как обычно для парадоксов, выраженных в форме текста, есть много вариантов. Например, в финале преступник может потребовать освобождения. Или же он только заявляет, что приговор невозможно исполнить. Или же он делает вывод, что его не казнят, а в среду утром является палач, что для заключенного становится полной неожиданностью. В результате приговор оказывается исполненным, ведь до утра среды он был уверен, что его не казнят.

Здесь есть большая опасность погрязнуть в обсуждении вариантов и деталей. Чтобы этого не произошло, я нарушу традиционную последовательность рассмотрения этого парадокса и начну сразу с решения, затем поясню, чем это решение интересно, и только затем рассмотрю "вариации на тему" в свете этого решения.

Схема казни такова. В понедельник утром палач бросает жребий, выпадает один из семи дней: от понедельника до воскресенья включительно. В этот день утром он приходит к преступнику и заявляет, что сейчас же его и казнит. После чего в самом деле казнит. А до того утра никто не говорит преступнику о дне казни и не дает никаких дополнительных намеков.

Знает ли преступник описанную выше схему казни? Предположим, что знает. Тогда, если выпадет воскресенье, то уже в субботу днем он будет знать, когда его казнят. Таким образом, приговор будет исполнен лишь частично: обещание "Тебя казнят в один из семи дней следующей недели (с понедельника по воскресенье)" будет исполнено, а обещание "когда именно это случится, ты узнаешь только утром в день казни" - не будет. Если же жребий выпадет на другой день, то оба обещания будут исполнены.

Таким образом, приговор будет исполнен в 6 случаях из 7, а в 1 случае из 7 будет исполнен лишь отчасти. Другими словами, шанс точного исполнения приговора равен 6/7.

В таком случае как относиться к утверждению "приговор будет исполнен"? Рассмотрим другой пример. Я бросаю обычную монетку, которая в половине случаев падает "орлом", а в половине случаев - решкой. И я говорю: "монетка упадет орлом вверх". Это высказывание истинно или ложно? Я бы ответил, что это высказывание "истинно с шансом 50%". Но что, если от меня упорно требуют выбрать либо просто "истинна", либо просто "ложна"?

Я считаю, что это яркий пример, на котором можно продемонстрировать разницу между двузначной и многозначной логикой. В примере с монеткой оба ответа "истина" и "ложь" кажутся (лично мне) менее точными, чем ответ "истинно с шансом 50%". В первом случае используется двузначная логика, во втором - многозначная, вероятностная, оперирующая не двумя значениями "истина" и "ложь", а вероятностями, которых бесконечно много в промежутке между 0 и 1.

Здесь есть сходство с тем, как если бы меня заставили назвать вес гири, 0 или 1 килограмм, когда я знаю, что вес равен полкило. Неизбежно округление в ту или иную сторону, и погрешность в любом случае составит полкило, потеряется полкило точности. В случае, если на вопрос о монетке я отвечу "истина", "потеряется" половина бросков, когда монетка упадет решкой вверх.

В случае с преступником вероятность исполнения приговора 6/7 и даже в оставшихся 1/7 случаев приговор частично исполнен. Тут уже труднее заметить неточность и "интуиция" меньше возмущается, если сказать, что "приговор будет исполнен". В примере с гирькой утверждение "вес равен полкило" интуиция тоже меньше возмущается, но ведь вес нельзя измерить абсолютно точно, любые весы имеют погрешность, так что и "полкило" - это тоже неточно. То есть, в парадоксе узника есть еще психологический момент, связанный с тем, что неточность не так заметна и очевидна.

Проблему можно решить с помощью определений. Если я заранее согласую способ округления массы, тогда мой ответ насчет веса гири будет заведомо неточным, но эта неточность будет оговорена заранее. Если я договорюсь, что ответ округляется к ближайшему целому, тогда высказывание "вес гири равен 0" предполагает любой вес от 0 до 1/2 кг. Я не смогу назвать собеседнику вес гири с той точностью, как мне хотелось бы, но, по крайней мере, я не введу его в заблуждение. Он будет знать заранее о возможности округления и поймет, что это может означать массу от 0 до 1/2.

Также и в парадоксе узника. Можно просто договориться о том, как называть ситуацию, когда в некоторых случаях приговор не может быть исполнен в полной мере. Хотелось бы сказать, что приговор будет исполнен с шансом 6/7, но, если кто-то упорно требует, чтобы ответ был только "да" или "нет", тогда надо просто договориться о том, как "округлять" подобные случаи. Можно договориться, что во всех случаях, когда шанс больше 50%, объявляется, что "приговор будет исполнен". Тогда судья в этом случае может сказать, что "приговор будет исполнен", но преступник будет знать заранее, что это приблизительно, что на самом деле у него есть шанс от 0 до 50%, что приговор исполнен не будет. В реальной жизни так оно и получается: при любом приговоре есть хоть маленький шанс, что он не будет исполнен (может, преступник сбежит или еще что).

Теперь немного о "вариациях на тему".

Не всегда оговаривается, как именно преступник узнает о дне казни. В приведенном примере неявно предполагается, что утром в день казни к нему приходят и объявляют. Тут возможны варианты.

Палач может бросать монетку утром каждый день - если "решка", то казнить, а в воскресенье казнить в любом случае. Тогда все рассуждения остаются в силе, но вероятность точного исполнения приговора получится не 6/7, а 63/64.

Обсуждение термина "знает"/"не знает" насчет того, будет ли знать преступник о дне казни. Тут тоже можно договариваться об определениях. Например, вдруг его освободит из тюрьмы добрый дядюшка? Значит ли это, что преступник не будет знать день казни, так как его могут спасти? А насколько маленьким должен быть шанс, чтобы считать, что он знает или не знает? Или что, если преступник тупой или страдает забывчивостью, так что просто забудет к воскресенью о дне казни? Или в субботу утром ему вколят какую-нибудь гадость, от которой "мозги поедут", и в результате он забудет.

Слова обиходного языка (примененного в формулировке ппрадокса) не имеют таких точных значений, как термины в математике, поэтому вокруг каждого слова можно развязать большой спор. Тут все зависит от буйства фантази обсуждающих и от того, насколько им интересно обсуждать ту или иную версию.

Преступник может не знать схему исполнения приговора. Тогда в субботу днем он будет гадать, как поступит палач. Все-таки казнит или отпустит или отведет к судье для принятия решения. Тогда даже днем в субботу преступник не будет знать, казнят его или нет и не сможет провести рассуждения, как это описано выше, и парадокс не удается построить вообще.

Судья может переформулировать приговор, например, сказать, что сроки казни имеют приоритет перед сокрытием дня казни.

Можно сказать, что судья вынес разумный приговор, просто не уточнил, как поступить, если в субботу утром преступнику не объявят о казни. Можно обратить внимание на то, что в задачке обычно не оговариваются юридически-процедурные вопросы - что обязан оговорить судья, и что должно произойти в случае, если приговор не может быть исполнен в полной мере. Может, в этом случае преступника все равно надо казнить - тогда он тоже не сможет провести свои рассуждения.