Термин "модальная логика", к сожалению, не определен строго и допускает множество толкований. В общем и в целом модальной логикой называют логические системы, в которых добавляются операции, сходные по смыслу с модальными глаголами естественного языка: "можно", "нужно", "возможно", "невозможно", "необходимо", "обязательно", "разрешено", "запрещено", "позволено", а также и некоторые другие: "уверен", "было", "будет". Речь идет о том, чтобы развивать классическую логику дальше, добавляя в нее элементы, похожие на некоторые часто употребляемые словесные конструкции.

Чаще всего в модальную логику добавляют символы "" и "". Символ "" переводят как "необходимо", хотя это не очень хороший перевод, просто калька с английского. Недостатки этого перевода на русский в том, что есть путаница с понятием необходимости ("необходимо и достаточно"), и интуитивно подразумевается некто живой, которому это для чего-то необходимо, хотя реально речь не идет о необходимости для кого-то.

Пожалуй, более точный перевод "неизбежно", "непременно", "обязательно". Возьмем высказывание: "мышь - грызун". Всякая ли мышь является грызуном? Очевидно, да, таково общепринятое соглашение в зоологии. Значит, мы можем сказать, что это высказывание "неизбежно" истинно, независимо от выбора конкретной мыши. То есть, "Мышь - обязательно грызун". Или символически:

(мышь грызун)

Второй символ "" переводят как "возможно". Это достаточно адекватный перевод. Возьмем высказывание: "мышь - серая". Всякая ли мышь является серой? Очевидно, нет, ведь есть белые и коричневые. Но все же мы можем с уверенностью сказать, что серые мыши возможны, и не только возможны, но какое-то их количество существует в данный момент. То есть, "Мышь, возможно, серая" записывается как

(мышь серая)

Взаимосвязь между этими символами выражается формулами:

A = ~ ~A    (1)

A = ~ ~A    (2)

И эта взаимосвязь вполне согласуется с обычными представлениями. Все, что обязательно истинно, не может быть невозможным, и наоборот. Это перевод формулы (1) на обычный язык. Когда мы признаем возможность какого-то утверждения, то нельзя утверждать, что это утверждение обязательно ложно. Это перевод формулы (2) на обычный язык.

Формулы (1) и (2) очень похожи на формулы для кванторов:

x A(x) = ~x ~A(x)

x A(x) = ~x ~A(x)

Есть и другие общие черты. Еще больше похожи формулы для замыканий:

A = ~ ~A

A = ~ ~A

Если вы читали первую часть, то знаете, что замыкание формулы A - это формула, в которой слева от A стоит серия одинаковых кванторов по всем свободным переменным в A. Например, для формулы A = (x + y) замыканиями будут формулы:

A = x y (x + y).

A = x y (x + y).

Замыкания и по смыслу очень похожи на модальные операторы. Например, что значит, что мышь - обязательно грызун? Это можно выразить иначе: что всякая мышь - грызун, а словечко "всякая", как правило, подразумевает квантор всеобщности "". А что значит, что мышь, возможно, серая? Это можно выразить иначе: что существуют мыши серого цвета, а словечко "существуют", как правило, подразумевает квантор существования "".

Этот пример показывает и определенные различия. Допустим так получилось, что все серые мыши передохли из-за эпидемии, и в данный момент на свете нет ни одной серой мыши. Тогда нельзя сказать, что "существуют мыши серого цвета". Уже не существуют. Но вполне можно сказать, что "серые мыши возможны". Ведь история уже показала, что они существовали в природе, а раз так, значит, возможны. Более того, мы можем сказать, что "желтые мыши возможны". Пусть на данный момент их нет в природе, но зато есть коричневые, и незначительная мутация вполне может привести к рождению мышонка с желтой шкуркой.

Если с вычислением кванторов все просто (см. первую часть), то с модальными операторами сложнее. Как узнать, возможно ли то или иное событие? Тут сразу возникает куча "философских" вопросов. Философских в том смысле, что вокруг них удобно разводить долгие и бестолковые дискуссии, однако с претензией на интеллектуальность. Постараемся все же избежать этой участи.

Для того, чтобы как-то формализовать возможность, в модальной логике часто вводится так называемая "интерпретация возможных миров". Она состоит в том, что вводится некоторое непустое множество "миров", описание которых кажется нам возможным по тем или иным причинам. Подобная терминология сильно опускает строгую математику до уровня научной или даже ненаучной фантастики: все эти разговоры о параллельных мирах, и все такое. Есть еще интерпретация возможных миров в квантовой физике, к которой физическое сообщество на данный момент относится с долей скептизизма. В общем, идея крайне модная, а само наличие определенной моды, к сожалению, вызывает необоснованный скептицизм у консерваторов и столь же необоснованные надежды у новаторов. Но здесь мы сильно отклонились в область психологии, так что на этом вопрос о восприятии подобной терминологии закроем.

Что же такое возможные миры? Выше я привел пример таких миров. Сначала я предположил, что серые мыши вымерли от эпидемии. Такое развитие событий кажется вполне возможным, хотя и не очень вероятным. По крайней мере, законам биологии это никак не противоречит. Мир, в котором все серые мыши вымерли, является выдуманным, несуществующим, но все-таки возможным. Вот вам первый пример возможного мира. Далее я говорил о желтой мыши. Она родилась в результате мутаций. Событие также вымышленное, но с точки зрения законов природы возможное. Мир, в котором родилась желтая мышь,- еще один из возможных миров.

В общем, "возможный мир" - это такая воображаемая ситуация, которая кажется нам возможной по тем или иным причинам. Реальная ситуация, та, что есть на самом деле (если мы ее знаем), тоже добавляется в список возможных миров. Возможные миры можно себе представлять и в стиле научной фантастики: как совокупность параллельных миров, в которых история пошла как-то иначе или пойдет как-то иначе. В принципе, можно было бы вместо термина "возможный мир" применять более сухой, немодный, но более точный термин "возможная ситуация".

Тут, правда, сразу возникают сложности "философского" характера, о которых я уже говорил. Допустим, мы относим к возможным мирам ситуации, которые не противоречат нашим знаниям о законах природы. Но ведь наши знания о законах природы очень неоднородны: некоторые законы сформулированы четко и строго, доказаны множеством надежных экспериментов. Другие не так хороши, вызывают серьезные и обоснованные сомнения. И есть еще куча закономерностей, занимающих промежуточное положение в научной системе знаний. В общем случае можно ведь нафантазировать себе и мир, в котором действуют совсем другие законы природы, и заявить, что такой мир тоже возможен. Возникает вопрос: соблюдения каких законов надо требовать? И вот тут открывается широкий простор для философского словоблудия. Кто-то предлагает одно, кто-то - другое...

Математики, стараясь остаться в стороне от этих споров, работают с множеством возможных миров как с данностью. Где-то, как-то и когда-то задано множество W возможных миров. Где, как и когда - неважно, просто дано и все. Примерно так же обстоит дело с формулами типа a & b. Есть переменные a и b, которые могут принимать значения "истина" и "ложь", и эти значения уже определены где-то, как-то и когда-то. Вопрос о том, где, как и когда, остается за кадром.

Если говорить о практическом применении в логических спорах, то вопрос о возможных мирах вполне можно уладить, простым соглашением, особенно. если заменить слово "мир" на более нейтральное "ситуация" или "развитие событий". Например, "Господин Петров, считаете ли вы такую ситуацию возможной в принципе?" И, если мнение господина Петрова не отличается от вашего, то можно вести дальнейшие логические рассуждения. Примерно так, как это выше сделал я: сказал, что серые мыши могли вымереть от эпидемии, и предположил, что вы со мной согласились.

"Обязательным" считается такое высказывание A, которое истинно во всех возможных мирах (ситуациях). Это записывается как A. "Возможным" считается такое высказывание A, которое истинно хотя бы в одном из возможных миров (ситуаций). Это записывается как A. Теперь можно выразить модальные операции через кванторы:

A = w A(w)

A = w A(w)

где w - переменная, область значений которой - множество возможных миров W. A(w) - истинность формулы A в мире w.

Теперь мы можем перейти к теме условных высказываний. Жил да был такой К.Льюис. Тот, который Кларенс Ирвинг, а не тот, который Кэролл, написавший "Алису...". Его иногда называют создателем модальной логики, но это совершенно некорректное заявление, поскольку первую математически строгую модальную логику предложил еще Аристотель. Кларенс Льюис предложил ввести новый тип импликации, названный "строгой" (strict) импликацией и обозначаемый символом "" вместо "". Формализация условных высказываний с помощью строгой импликации определялась так:

A B = (A B)    (3)

И тут мы снова приходим к вопросу о том, что считать обязательным или возможным. Уже тогда мнения разделились. У Льюиса обязательность предполагала отсутствие противоречий. У выдающегося математика Лукасевича, который примерно в тот же период времени занимался модальной логикой, возможной называется ситуация в будущем, для которой нет препятствий в настоящем. Как я уже сказал, требования к возможным мирам или возможным ситуациям можно предъявлять самые разные. Можно почти все считать возможным, включая и внезапное изменение законов природы и даже законов математики - это одна крайность, а можно считать возможными только некоторые самые очевидные вещи - это другая крайность.

Формула (3) на первый взгляд решает парадоксы материальной импликации. Возьмем высказывание

"Если в огороде бузина, то в Киеве дядька".    (4)

Рассмотрим два высказывания: A = "в огороде бузина" и B = "В Киеве дядька". Посмотрим на формулу (3). Чтобы доказать утверждение (4) нам надо убедиться, что "обязательно" истинно A B. Когда A B может быть ложно? Только когда A = true и B = false. Может ли в огороде у кого-то быть бузина? Конечно. Тогда A = true. Может ли у кого-то не быть дядьки в Киеве? Тоже возможно. Тогда B = false. То есть, высказывание A B может быть ложно. Это значит, что в формуле (3) операция дает false, и высказыание (4) ложно.

Несмотря на то, что модальная логика решает некоторые парадоксы материальной импликации, остается еще много нерешенных. Например, возьмем теперь такую фразу:

"Если вода сухая, то кошка - это птица"    (5)

Рассмотрим два высказывания: A = "вода сухая" и B = "кошка - это птица". Посмотрим на формулу (3). Чтобы доказать утверждение (4) нам надо убедиться, что "обязательно" истинно A B. Когда A B может быть ложно? Только когда A = true и B = false. Может ли вода быть сухой? Нет, это жидкость по определению. Если мы признаем законы физики, это невозможно. Так что обязательно A = false. Это значит, что обязательно A B = true. Это значит, что в формуле (3) операция дает true, и высказыание (4) истинно. Но оно не кажется истинным.

Допустим, кто-то не готов считать законы физики обязательными. Тогда мы можем уговорить его считать обязательным хоть что-нибудь (иначе модаьлная логика вообще теряет смысл). Пусть обязательно истинными будут хотя бы законы математики. И даже пусть не все законы математики, а только законы из самых очевидных и простых. Например A & ~A = false. Тогда мы составим формулу:

"Если A & ~A, то кошка - это птица"

Все, приехали. Это полный бред, но формула (3) с этим бредом соглашается, поскольку в условии стоит формула, которая является обязательно ложной (ложной во всех возможных мирах). Похожая неприятность случится, если в качестве следствия подставить формулу, которая является обязательно истинной (истинной во всех возможных мирах), например:

"Если вода сухая, то A ~A"

Таким образом, модальная логика всего лишь чуть более свободна от парадоксов материальной импликации, но в ряде случаев ее формулы прямо противоречат условными высказываниям. В то же время, как и в случае с материальной импликацией, такое противоречие не является математическим парадоксом. Противоречие здесь возникает между математикой и обычным языком в том смысле, что формула Льюиса не является правильной формализацией условных высказываний.

Иногда встречается немного измененные варианты формулы (3):

A B = (A B)

A B = x (A(x) B(x))

Но с ними та же самая проблема: достаточно подставить на место A формулу, которая всегда ложна, и тогда на место B можно будет подставить все, что угодно, даже полный бред, никак не связанный с A. Или можно подставить на место B формулу, которая всегда истинна, а после этого - произвольную формулу на место A.