Параллельные прямые, которые пересекаются
Очень многие, даже вполне разумные, безупречно вменяемые люди делают эту ошибку: приводят в качестве примера аксиомы фразу
В евклидовой (школьной) геометрии действительно есть одна аксиома о параллельных прямых, но звучит она иначе:
Проиллюстрируем ее. Пусть дана прямая
Эта аксиома верна именно на бесконечной двумерной плоскости и для бесконечных прямых. Но ведь это - вопрос соглашения: что называть "плоскостью" или "прямой". Вот например, в жизни мы не сталкиваемся с прямыми или плоскостями бесконечно большого размера. Так может быть, было бы реалистичнее взять ограниченные по размерам "плоскости" и "прямые"? И ведь берут! В результате получаются другие виды геометрии.
Вот например, можно взять ограниченный кусок евклидовой плоскости в форме круга, квадрата
или треугольника и назвать эту фигуру "плоскостью". Только это будет уже не евклидова плоскость,
а плоскость в геометрии другого типа. "Прямыми" в ней будем называть куски бесконечных евклидовых прямых,
которые уместились внутри "плоскости". На такой плоскости через точку
А теперь рассмотрим геометрию, в которой "плоскостью" называется сфера, а "прямой" - окружность на сфере,
но только не любая, а максимального диаметра. В такой геометрии через точку
Как видите, аксиома о параллельных прямых может быть истинной или ложной в зависимости от выбора терминологии. Или, как говорят, в зависимости от определений. В школе нас приучают называть "плоскостью" вполне определенную бесконечную фигуру, а "сферой" - другую. Что получится, если начать называть "плоскостью" то, что раньше называли "сферой", вы видели на предыдущей картинке. Одна из аксиом тогда перестанет быть истинной.
Аксиомы и определения
Определение - это соглашение о том, что и как называть. Определение - это не аксиома. "Параллельные прямые не пересекаются" - это именно немного подпорченное определение, которое обычно звучит так: "Прямые, находящиеся на одной плоскости, которые не пересекаются, называются параллельными".
Поскольку определение - всего лишь соглашение о назывании, оно не может быть истинным или ложным. Вы можете принять это соглашение или не принять из-за того, что оно недостаточно строгое или предлагаемое слово вам не нравится, или еще что... но не в связи с его истинностью или ложностью. От изменения названий жизнь не меняется. Например, от того, что вы назовете мышь волком, ее укусы не станут больнее. Добавление определений можно еще сравнить с изучением иностранного языка: вы слышите незнакомое слово и узнаете, что оно означает. Потом вы можете пользоваться этим словом сами или отказаться от этого.
Аксиомы - это другое. Аксиома - это какое-нибудь утверждение (или, как говорят в математике "высказывание"), которое может быть более или менее истинным. Например, можно провести ровно одну прямую, или ни одной, или много. Все эти утверждения можно проверить. Истинность аксиом зависит в том числе и от определений.
Еще пример. "Будем обозначать сложение значком '+'" - это определение. По определению "
Аксиомы в математике
Какова роль аксиом в математике? Они используются как исходные положения, из которых выводятся все остальные по некоторым "правилам вывода". Правила вывода - это какие-то приемы, с помощью которых из одних утверждений получают другие - то есть, правила рассуждения. Далее аксиомы принимаются за истину, так сказать, за "рабочую гипотезу". Также предполагают, что правила вывода ведут от истинных высказываний к другим истинным. И затем смотрят: что же из этого получится? А получаются обычно новые утверждения, которые называют "теоремами".
В чем бонус? А в том, что теорем обычно гораздо больше, чем аксиом. Чтобы убедиться, что вся гора теорем истинна, достаточно убедиться, что все аксиомы истинны, и правила вывода всегда ведут от истины к истине. А если хотя бы одна из аксиом ложна, или одно из правил вывода ненадежно, то мы ничего не сможем сказать о теоремах. Отсюда и стремление сделать аксиомы и правила вывода как можно проще и сократить их количество: в случае чего гораздо легче проверить несколько простых утверждений и правил, чем целую гору.
Есть еще одно забавное заблуждение, происходящее всего лишь из той формы, в которой геометрия преподается в школе. Там есть такая теорема, которую обычно формулируют так:
Именно в такой форме она записана в учебнике, но... вы, наверное, уже догадались, где собака зарыта? Дело в определениях, аксиомах и правилах вывода, которые были использованы в процессе формулировки этой теоремы. Если все определения согласованы, все аксиомы истинны и все правила вывода надежны, тогда - да, теорема верна. А если нет? А если нет, то не обязательно верна. Так что, если осторожничать, теорема должна звучать так:
Вот примерно так, если быть въедливым. Детям стараются объяснять, как проще. К тому же детей не приходится убеждать в истинности аксиом или правил вывода - они и без того принимают за чистую монету все, что говорит авторитет-учитель. А в зрелости человек начинает сомневаться и задает неудобные вопросы типа: "А вот на сфере сумма углов треугольника не 180 градусов - и как же так?" А вот так. Надо взять полную формулировку теоремы. В ней в числе прочего есть требование, чтобы все аксиомы были истинными. Но выше мы видели, что на сфере одна из аксиом евклидовой геометрии ложна. Значит ничего нельзя утверждать про сумму углов треугольника на поверхности сферы.
Было бы довольно занудно добавлять слова "если приняты определения евклидовой геометрии, и все ее аксиомы истинны, и все ее правила вывода надежны" перед формулировкой каждой теоремы. Этого и не делают, не только в школе, но и в серьезной научной литературе. Это подразумевается неявно, как говорят, "по умолчанию". В каждом разделе математики подразумевается некоторый набор аксиом, правил вывода и определений, которые обычно формулирубтся в начале изложения.
Аксиомы в жизни
В жизни работает примерно тот же самый принцип, что и в математике. Чтобы надежно договориться друг с другом о чем-нибудь, нужны как минимум три вещи: общие определения, аксиомы и правила вывода.
В качестве определений идут различные слова, термины, выражения. Например, надо убедиться, что вы и ваш собеседник
понимаете одно и то же под словом "справедливость". Иначе может получиться как с параллельными прямыми: на бесконечной
площади через точку
То же самое происходит в споре, причем, происходит до жути часто, я бы сказал, это случается в 80% дискуссий. Два человека долго-долго спорят о том, справедливо ли решение такого-то политика, а потом выясняется, что справедливостью они называют разные вещи. И оказывается, что они оба правы: просто один понимал под справедливостью одно, а второй - другое. Тот политик справедлив по справедливости номер один и несправедлив по справедливости номер два. Спрашивается, и ради чего неделю ломались копья?
Поэтому, когда в споре возникают трудности, первым делом стоит выяснить: одинаково ли вы понимаете одинаковые слова. Конечно, проверять все слова времени не хватит. Стоит проверять те, с которыми обычно случаются подобные "накладки". Это "опасные" слова. Их можно выделить по трем признакам: эмоциональность, субъективность, философичность.
Эмоциональные слова - это такие, которые несут в себе некоторую эмоцию или оценку. Например, "хорошо", "плохо", "фашист", "негодяй", "справедливо". Эти слова относятся обычно к области этики, эстетики, морали, политики. Субъективные слова - это такие, значение которых зависит от конкретного человека. Например, то, что хорошо для женщины, может быть плохо для мужчины или ребенка; что аморально для православного, может быть нормально для атеиста или мусульманина. Наконец, философские слова - те, что часто применяются в философии. Философы очень любят менять смысл слов, придумывать для каждого слова по тысяче значений, и которое из них имеется в виду на этот раз - поди угадай.
Вторая вещь - это аксиомы. Их тоже нужно согласовать. Аксиомы в обычной жизни - это те факты, в которых обе спорящие стороны не сомневаются. Как любят говорить в таких случаях: "точки соприкосновения". Вот от них, от этих точек соприкосновения и стоит начинать доказательство. Если же "начинать плясать" от противоречий, толку не будет. Вася скажет: "А я верю пророку Мухаммеду". Петя скажет: "А я не верю!" Вася скажет: "А я верю!" Петя скажет: "А я не верю!" и так далее по кругу.
Часто это хождение по кругу не столь заметно из-за того, что спорящие формулируют свои аксиомы на каждом "витке" немного другими словами. Например: "А я верю адвокату!" ("Я верю") "Да этот адвокат - жулик!" ("Я не верю") "Нет, у него зарплата всего $1000!" ("Я верю") "Вот именно, и откуда тогда такая вилла?" ("Я не верю")
И, наконец, третья вещь - это правила вывода. Роль правил вывода в жизни играет логика. Имеется в виду логика в широком смысле - как принципы, правила словесных рассуждений. К сожалению, логика может быть самой разной, так что и тут не приходится заранее надеяться на согласие. Для одного важнее эмоции, так что истинно все, что приятно (эмоциональная логика). Для другого важнее практика, так что истинно то, что проверено (естественнонаучная логика). Для третьего важнее вера, так что истинно то, что не противоречит верованиям (религиозная логика). Для четвертого истинно то, что согласуется с формулами (логика математика или бюрократа). Для пятого истинно то, что не противоречит его внутреннему чутью (логика интуиции). Шестой ставит во главу угла закон и с огромным трудом рассматривает то, что делать "не полагается" (логика юриста). И так далее. На этом сайте я пропагандирую гибрид математической и естественнонаучной логики (из разряда "истинно то, что проверено и согласуется с формулами, которые проверены"), но я понимаю, что другие люди, бывает, рассуждают совершенно иначе. Так что все, что мне остается - это разъяснять свою позицию, надеясь прийти к какому-то общему пониманию.
Аксиомы в науке
Аксиомы в науке часто еще называют "постулатами". Распространено заблуждение, что аксиомы в науке не проверяются. Дудки! Еще как проверяются.
Обычно в основе научной теории лежит некоторое число послулатов. И обычно именно эти базовые положения пытаются проверить чаще других. Вот например теория относительности. Там есть постулат, что скорость света в вакууме постоянна и не зависит от скоростей источника света и приемника. Как только не проверяли этот постулат - начиная со знаменитого опыта Майкельсона-Морли.
Научные постулаты-аксиомы, как правило, проверяются именно так - опытом. Как вариант - они выводятся из какой-то другой теории, для которой постулаты уже проверены. Тогда почему они называются аксиомами или постулатами? Да потому, что аксиома - это то, что принимается за истину в пределах некоторой теории. Если брать теорию относительности как систему логических рассуждений, где из аксиом-постулатов математически выводится все остальное, то эксперименты по проверке постулатов оказываются вне пределов этой теории. Только и всего.
Если какой-то научный постулат еще не доказан, то все рассуждения, построенные на нем, попадают в разряд "гипотез", а не в разряд "обоснованных теорий". На деле грань между тем и другим оказывается размытой.
Хорошая иллюстрация - теория эволюции. В ней тот факт, что в процессе мутаций могут возникать нескрещивающиеся виды, проверен неоднократно непосредственным наблюдением. Утверждение, что тот же процесс может приводить к кардинальному изменению внешнего вида животных (например, появлению крыльев или ног) основывается уже на археологических находках и, соответственно, вызывает меньше доверия и больше споров. Утверждение же о том, что живое может образовываться из неживого (абиогенез) относится уже к явным гипотезам, которые хороши лишь тем, что другие гипотезы еще более фантастичны, невнятно сформулированы и недоказуемы. Так что теория эволюции оказывается областью знаний, в которой нет четкой границы между доказанной и гипотететической частями, вместо этого одно плавно переходит в другое и изменяется по мере развития науки. Примерно так же дело обстоит и со многими другими научными теориями.
Аксиомы в религии
В религии аксиомы часто называют "догмами". Нельзя сказать, что все догмы принимаются исключительно на веру, и никак не проверяются. Если вы пообщаетесь с реальными верующими, то сможете заметить, что они все-таки пытаются так или иначе проверить правдивость догм. Получается своеобразная "проверка веры". Существенное отличие от науки состоит в том, что верующий, когда проверить что-то невозможно, говорит: "я не могу проверить это, но я верю, что это истина". А ученый обычно рассуждает так: "я не могу проверить это, но я пока принимаю это за гипотезу".
Разница может быть малозаметна, но она есть. Дело в готовности усомниться в истинности постулата. Для истинно верующего опровержение догмы есть ужасное несчастье, разрушающее мировоззрение и вызывающее бурю негативных эмоций. Для истинного ученого опровержение постулата есть радость, говорящая о том, что открывается новая область для исследований и открытий. А если более приземленно: это отличная возможность для написания статей, диссертаций и получения сопутствующих регалий и материальных поощрений.
Дело усложняется тем, что отношение некоторых ученых к постулатам (особенно старых ученых к старым постулатам) оказывается сродни вере: даже если приводятся доказательства, консерваторы могут отвергать их необоснованно, по укоренившейся привычке верить в другое, из лени напрягаться и изучать новое. А также и потому, что было написано много статей и книг, основанных на опровергнутом постулате, и получено много регалий (и куда это теперь?).
И дело дополнительно усложняется тем, что гораздо чаще разного рода жулики, шарлатаны и просто невежественные люди, одержимые манией величия, любят громко кричать о "догматизме в науке", когда наталкиваются на заслуженное неприятие, основанное вовсе не на догматизме (или не только на догматизме).