Вместо заключения рассмотрим парадоксы, о которых говорят сравнительно редко, но которые тоже решаются в следующей логике.
Я говорю о парадоксах равносильности.
Операция "
" булевой логики принимает два булевых операнда. Результат операции true, когда
оба операнда истинны или когда оба ложны; иначе результат операции - false.
Операция "
" в математической литературе называется эквивалентностью, равносильностью, эквиваленцией.
С этой операцией связаны парадоксы, подобные парадоксам материальной импликации. Они не столь известны, возможно, благодаря тому, что
в обыденной речи редко встречаются обороты со словами "эквивалентно" или "равносильно". Тем не менее, парадоксы эти существуют.
В математике употребляются такие обороты, как "необходимо и достаточно", "тогда и только тогда". Эти обороты иногда предлагается формализовать
с помощью операции "
". Однако, если мы согласимся с такой формализацией, мы вынуждены будем признать, что
истинны все фразы, в которых эти слова соединяют два истинных (или два ложных) высказывания, никак не связанных между собой по смыслу. Например:
"Солнце горячее тогда и только тогда, когда лед холодный"
"Чтобы 2 + 2 = 5 необходимо и достаточно, чтобы существовал предел sin(x) при стремлении x к +∞"
Теперь коротко о том, что касается семантики операций. Операция "
", как и операция
"
" абстрагируется от всего, кроме истинности операндов. Смысл операндов для нее неважен,
в том числе неважно и наличие зависимости между истинностью одного и другого операнда. Истинность результата операции
"
" означает лишь то, что истинности операндов равны, но не означает того, что истинность
операндов зависит друг от друга. Итак, "
" означает лишь равную истинность, и потому
предлагается называть ее операцией равноистинности. В этом случае слова:
"Солнце горячее" равноистинно "Лед холодный"
звучат, как мне кажется, вполне адекватно.
В первой части рассматривались операции "двойного общего следования" и "двойного частного следования":
A
B = (A
B) & (B
A)
A
Subst B = (Subst(A') = A) & (Subst(B') = B) & (A'
B')
Операция "
" гарантирует характерную зависимость операндов: что левый операнд
истинный, когда истинный правый и наоборот; что левый ложный, когда ложный правый и наоборот; что зависимость действительно
имеет место ввиду наличия одноименных переменных, которые делают формулы A и B переменными. Как мне кажется,
это свойство операции "
" точно соответствует смыслу выражений "тогда и только тогда",
"необходимо и достаточно". Поэтому операцию "
" я предлагаю называть "равносильностью",
"эквивалентностью" и, возможно, "равнозависимостью". Соответственно, можно говорить об общей равносильности "
"
и частной равносильности "
".
Соответственно математические обороты "необходимо" и "достаточно" сводятся к следованию. A
B
формализует обороты: "Для A необходимо B" и "Для B достаточно A".
Наконец, операция равенства "=" означает равенство каких-нибудь свойств операндов. Ее смысл зависит от типа
операндов и контекста. Иногда она может означать равноистинность, иногда - равнозависимость, иногда - равенство по смыслу,
иногда - равенство по написанию, очень часто - равенство по числовой величине. Таким образом, различные виды равенства:
равноистинность, общая равносильность, частная равносильность и равенство оказываются достаточно четко разделены, что
позволяет избегать парадоксов.