Связь между
логическими системами

[предыдущая глава]  [оглавление]  [следующая глава]

Я предлагаю следующую логику как средство формализации условных высказываний, свободное от недостатков и парадоксов других рассмотренных систем. Я, конечно, не могу зарекаться, что не будут найдены другие парадоксы в свою очередь и для следующей логики, но это покажет будущее. И я, конечно, не призываю отвергать другие системы. Следующая логика лучше них только в задаче формализации условных высказываний. Насчет любых других задач ничего не утверждается.

Несмотря на то, что определение операций следования в следующей логике отличается от определений в других системах, тем не менее, между ней и другими системами имеется определенная преемственность, недвусмысленные связи. Рассмотрим эти связи.

Материальная импликация

Формула общего следования может быть выражена через материальную импликацию:

A B = A & ~B & (A B)

Эта формула раскрывает секрет живучести материальной импликации как средства формализации условных высказываний. Посмотрите: истинность формулы A B (причем, истинность для всех возможных значений входящих в нее переменных) является необходимым условием истинности общего следования. Однако истинность материальной импликации не является достаточным условием, и от этого происходят все парадоксы. Математик, который может доказать, что формула A B необщезначима (т.е. иногда ложна), тем самым докажет, что общее следование A B ложно и частное следование A B также ложно.

Далее, посмотрим на таблицу истинности материальной импликации.

A	B	A B
false	false	true
false	true	true
true	false	false
true	true	true

А теперь сравните эту таблицу с таблицей, которая показывает, какие значения истинности могут принимать формулы A и B для общей и частной импликации:

A	B	A B
false	false	хотя бы для одной комбинации значений переменных
false	true	неважно
true	false	никогда, ни для какой комбинации значений переменных
true	true	хотя бы для одной комбинации значений переменных

A	B	A B
false	false	допустимо, в зависимости от дополнительных условий
false	true	неважно
true	false	никогда, ни для какой комбинации значений переменных
true	true	допустимо, в зависимости от дополнительных условий

Сходство, я полагаю, очевидно, как и различия.

Дедуктивные системы

Формула A B означает: если доказано A, то доказано и B. Это условное высказывание, истинность которого может быть выражена частным или общим следованием. Так что следующая логика вполне согласуется с дедуктивными системами (причем, любыми).

В каждой дедуктивной системе должно быть хотя бы одно правило вывода. Правила вывода часто предполагают подстановку каких-то формул на место каких-то переменных. Аналогичный процесс происходит при выводе частного следования из общего (см. определение частного следования в первой части) или общего из общего (см. теорему 8.2 в первой части). Таким образом, эти правила вывода - прямые кандидаты на запись в форме общего следования, а в результате подстановки в них может получиться частное или общее следование.

Достоинство следующей логики по сравнению с дедуктивными системами заключается в том, что она не требует искать доказательство путем перебора или какого-то другого столь же сложного метода. Вместо этого она сводит истинность общего следования только к истинности операндов - в лучших традициях булевой алгебры и тому подобных "технологичных" систем.

Аристотелева логика

Все правильные силлогизмы Аристотелевой логики имеющие вид:

"Если X & Y, то Z"

могут быть сведены к общему следованию:

X & Y Z

- поскольку для всех силлогизмов верно правило: левая часть X & Y может быть иногда истинна, правая Z иногда ложна, но не то и другое сразу. Заметим, что на место X, Y, Z можно подставлять не любые комбинации формул, а только такие, которые допускаются в правильных силлогизмах.

Средневековые modus-ы

Правила modus ponens и modus tollens существуют и в следующей логике, они доказаны в первой части, причем, даже для более общего случая. Причем, эти правила не нужно постулировать в качестве аксиом, они выводятся из определения общего следования.

Модальная логика

Третий член формулы общего следования (A B) весьма похож на формулу строгой импликации. Однако в формуле общего следования есть еще дополнительные члены, которые пресекают возникновение парадоксов.

Следующая логика в своем применении является более общей логикой, чем модальная. В определении строгой импликации кванторная переменная обозначает возможные миры. В следующей логике там может быть сколько угодно переменных. Если есть желание, можно строить общее следование и по возможным мирам, если формулы A или B выражают истинность какого-то высказывания в зависимости от выбора мира.

Плюс ко всему, следующая логика не играет с "модными" понятиями. Истинность высказываний может зависеть от некоторых переменных, и во всех случаях эти высказывания могут относиться к нашему миру, а не к воображаемым или, тем более, параллельным. Примеры мы позднее будем рассматривать.

Релевантная логика

Принцип общих переменных, применяемый в релевантной логике, ведет к парадоксам. Что интересно, в следующей логике доказана аналогичная теорема, говорящая, что если в формулах A и B нет общих переменных, то A B = false. Однако, в следующей логике парадоксов не возникает, благодаря тому, что есть еще частное следование.

Кроме того, следующая логика не требует никаких "философских" обоснований, имея дело лишь с самыми простыми математическими понятиями вроде булевых формул или предикатов.